Правильно: управляющий магазином.
Выражение корректно в значении «мужчина владеет магазином».
Возможны варианты: «Магазин «Москва», «Магазин "Москва"».
Имя Миа не склоняется. Не склоняются мужские и женские фамилии и личные имена, оканчивающиеся на -а с предшествующей гласной. Правильно: у Миа.
Слово да не склоняется, поэтому и название склонять не следует: Я иду в "Да", купил в "Да".