Знаки препинания расставлены верно.
Слово месяц в русском языке употребляется в значении 'лунный диск или его часть' (любая, не обязательно одна четвертая). О луне в первой четверти можно сказать молодой месяц. А полумесяц – ''неполная луна, лунный серп'.
Для выполнения этого задания воспользуйтесь электронными словарями, размещенными на нашем портале.
См. вопрос 295472.
Запятая не ставится.