Правильно: борщовый набор.
В обоих случаях корректно слитное написание.
Да, это словосочетание: между существительным и местоимением есть подчинительная синтаксическая связь.
Если это сочетание употребляется в прямом значении (набор для приготовления борща), кавычки не нужны. Если имеется в виду список продуктов, по росту цен на которые определяют уровень инфляции, кавычки уместны.
1. Если речь идет о нескольких предметах, входящих в набор, то можно использовать обе формы сказуемого.
2. Правильнее было бы говорить о деталях изделия.