При цитировании указать источник нужно в любом случае. Использование слов того или иного автора, выступающего и т. д. в качестве эпиграфа к статье определяется соображениями уместности; это решает автор статьи. Эпиграфы обычно пишут без кавычек, а ссылку на источник дают без скобок:
Нам потребуются квалифицированные кадры, инженеры, рабочие, готовые выполнять задачи нового уровня.
В. В. Путин
1. Необходим именительный падеж. Правильно: Разум vs провокация; Путин vs Медведев.
2. Сокращенное название – Минэнерго России.
Запятая перед чем поставлена правильно (и все остальные знаки тоже).
Склоняется только мужская фамилия.
Да, мужская фамилия Котик склоняется.
Здесь верно: Папа Римский; папа Франциск.
Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.