Тетрадь Кузина Данилы.

Скорее: какая ветка (определение).

Как правило, согласование с предлогом не употребляется.

Ничего некорректного в формулировке "Какое имя было у Куприна?" нет. Однако формулировка "Имя писателя Куприна" выглядит более удачной, так как в ней нет никакой двусмысленности. 

1. Вы написали верно. 2. Да, склоняется.

В современном русском языке форма куполы уже не является нормативной, правильно: купола. Но раньше форма на -ы была основной, как и у многих других существительных мужского рода, которые сейчас в именительном падеже мн. числа оканчиваются на -а, -я (поезда, тополя, повара и мн. др.). 

Конкуренция форм мн. числа на -ы (-и) и -а (-я) продолжается уже не одно столетие, формы на -а (-я) появляются у всё большего числа слов, при этом они (как и любые новые варианты) вынуждены преодолевать общественное неприятие. Можно привести такую интересную цитату из справочника 1890 года «Неправильности в современном разговорном, письменном и книжном русском языке», в которой идет речь о вариантах поезды – поезда: «Поезда вместо поезды ныне во всеобщем употреблении, но совершенно неправильно и неизвестно на каком основании». Как мы видим, языковые законы всё же сильнее нормализаторских запретов.

Кавычки не требуются.

На наш взгляд, если люди уже получили еду (еда уже куплена), то следует выбрать предлог за. Если покупка только планируется, то предлог на.

Правила написания названий автомобилей, сформулированные в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» и в орфографическом словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?», таковы.
Названия производственных марок технических изделий (в том числе машин) заключаются в кавычки и пишутся с прописной буквы: автомобили «Москвич-412», «Волга», «Вольво». Однако названия самих этих изделий (кроме названий, совпадающих с собственными именами - личными и географическими) пишутся в кавычках со строчной буквы, напр.: «кадиллак», «москвич», «тойота», но: «Волга», «Ока» (совпадают с именами собственными, поэтому пишутся с большой буквы). Исключения: «жигули», «мерседес» (совпадают с именами собственными, но пишутся со строчной).
Аббревиатурные названия пишутся без кавычек: ЗИЛ, ВАЗ, КамАЗ.
В бытовом употреблении названия средств передвижения могут употребляться без кавычек. Напр.: Приехал на стареньком москвиче (на роскошном кадиллаке). Без кавычек пишутся также разговорные названия машин с уменьшительно-ласкательными суффиксами, напр.: москвичок, фордик, уазик.
Что касается написания двойных названий (марка и модель автомобиля), то соответствующих рекомендаций в справочных пособиях по русскому языку нет. Только в «Справочнике издателя и автора» А. Э. Мильчина, Л. К. Чельцовой приведен пример «Опель-омега», но возникает вопрос, можно ли считать данный пример показательным для написания аналогичных компонентов других названий (Королла, Меган, Сценик, Гетц и пр.), учитывая, что слово омега совпадает с нарицательным существительным – названием буквы греческого алфавита. На наш взгляд, корректно такое написание: «Тойота-Королла», «Рено-Меган», «Ниссан-Теана», «Хёндай-Гетц» и пр. А дефис ставится вот почему. В русском языке для передачи иностранных названий, пишущихся в языке-источнике раздельно, используется дефис, ср.: Нью-Йорк – New York.
В заключение отметим, что написание названий марок автомобилей (как и других изделий техники и электроники) является одной из самых неупорядоченных и неустойчивых областей современной русской орфографии и задачу регламентирования написания таких наименований еще предстоит решать лингвистам.

Оба варианта правильные.