Некоторые одушевленные существительные с окончанием -а в И. п. относят к группе существительных общего рода, так как они имеют двойную охарактеризованность по роду в зависимости от пола обозначаемого лица: этот судья пришел, эта судья пришла.
Все названные Вами варианты возможны. Окончание -у более характерно для разговорной речи.
Верно написание строчными буквами.
Прилагательное кухонный.