Верно: обеих групп.

Первое слово в таких названиях пишется с большой (прописной) буквы.

Определение, относящееся к двум или нескольким существительным – однородным членам, ставится в форме единственного числа, если по смыслу сочетания ясно, что определение относится не только к ближайшему существительному, но и к последующим. В противном случае употребляется форма множественного числа. При написании первая авария, кража, растрата поймет ли читатель, что прилагательное первая относится ко всем трем существительным? Если в этом есть сомнения, лучше написать первые.

Судя по корпусным данным, первый вариант конструкции «в этом + прилагательное + край» встречается в речи чуть реже, второй — чуть чаще. Оба они верны.

Правильно: по отчему. См. Склонение прилагательных в учебнике Е. И. Литневской.

Да, употребление кавычек корректно.

Имя существительное, которому предшествует два или несколько определений, указывающих на разновидности предметов, ставится в форме множественного числа, если автор намерен подчеркнуть  наличие нескольких предметов. В данном случае это сделать уместно: Хабаровский и Ставропольский края.