Правильно: оказать информационную поддержку конкурсу.
См. ответ № 227557.
Возможны оба варианта. А какой вариант ЕГЭ признает правильным, интересно?
Более употребительно: рюмка коньяка.
Верно: собачья (будка, конура и т. д.).
Корректно: 1-я вице-мисс.
Возможны варианты: бутылка коньяка - общеупотребительный; бутылка коньяку - разговорный.
Да, все верно.