1. Правильно без кавычек: под ключ.
2. Эти слова равнозначны.
Запятая после ключ нужна. Тире не отменяет запятой.
Варианты различаются стилистически: закрыть дверь – нейтральный, замкнуть дверь – разговорно-просторечный.
Строгой литературной норме соответствует вариант с брелоком.
Кавычки не нужны.