Правильно.
Корректно: врач-стоматолог детский; врач -- детский стоматолог.
Да, склоняется.
Правильно: индианка. Так называют и подругу индейца, и подругу индийца.
Да, конечно: управляющая. Об употреблении этого слова как названия должности читайте в вопросе 291676.
Орфографически верно раздельное написание, т. к. эко... относится к словосочетанию: эко детский сад.
Верно в ед. ч.: брат или сестра уже посещает.
Какие именно названия?