Да, это условное название, кавычки нужны: карта «Тройка», записать билет на «Тройку».
Предложение построено некорректно (сказуемое не может согласоваться одновременно с мы и вы), поэтому дать рекомендации о расстановке запятых затруднительно.
Верно (если об одном и том же говорится разными словами): прямой обмен, или так называемый бартер.