Зависит от контекста, но, если эта визитная карточка принадлежит руководителю, предлог не нужен.
Верноятно, имеется в виду слово пластинками?
Причастие удаленный образовано от приставочного глагола совершенного вида, а причастие квашеный - от бесприставочного глагола несовершенного вида. Этим объясняется разница в написании.
Информации об истории этого выражения в доступных нам справочниках нет.
Без капусты щи не сваришь – корректно. А что смущает?
Правильно: согласно карточке.
Если капусту квасили отдельно, а потом добавили свеклу, то верно: квашеная капуста со свеклой.
Знаки препинания расставлены правильно.