Правильно: при поддержке фонда, при поддержке института.
Прилагательное, образованное от сочетания числительного с существительным, пишется слитно: шестисотстраничный, пятипроцентный, девятиметровый.
Верен второй вариант.
Да, склоняется.
Оба предложения – двусоставные, с подлежащим и сказуемым.