Верно: дней рождения.
Правильно: проведение дней рождения.
Корректно: день рождения, с днем рождения. В разговорной речи возможно: день рожденья, с днем рожденья.
Вариант сделай покупку на день рождения имеет значение "в качестве подарка, в честь дня рождения". Так что, если имеется в виду, что покупку нужно сделать в течение дня рождения, а не в честь него, следует писать: в день рождения.
Слово рождения не изменяется при изменении слова день. Правильно: дни рождения, информация о днях рождения.
Правильно: день рождения, на дне рождения, мы празднуем день рождения.