Оба варианта корректны, однако есть нюансы в значении. Форма множественного числа сказуемого показывает, что в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается двум равноправным субъектам. Форма единственного числа указывает на то, что подлежащим является только слово мама, а слово ребенком выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия (т. е. ребенка ведут гулять, он в данном случае не является самостоятельным субъектом действия).
Да, можно.
Правильное написание: сорт "дружба".
Правильно: кошечка. Но если нужно употребить именно указанный вариант, то верное написание: кошонка.
При наличии пояснительного оттенка запятая возможна.