Имя следует склонять, верен первый вариант.
В этом случае лучше написать так: Выражаем благодарность индивидуальному предпринимателю А. А. Иванову.
Да, существует.
Словарной фиксации нет. Корректно: дженга, полимино, «Ханойская башня».
Правильно: отправить письмо ИП (индивидуальному предпринимателю) Иванову И. И.
Это глагол зиждиться.