Корректно: пробудить у детей (в детях) интерес к...
Корректно: в сети Интернет. Но: в Интернете и в интернете.
Интернет-сайт и интернет-магазин - корректные образования.
Существительное Интернет пишется с прописной буквы. Однако сложные слова с первой частью интернет-... пишутся строчными буквами.
Да, существительное Интернет склоняется: прочитать в Интернете, пользоваться Интернетом.