Хотя слово демократия и означает в буквальном переводе с греческого «власть народа», сочетание народная демократия стало устойчивым, закрепилось в языке советской эпохи для обозначения политической организации общества в государствах Центральной и Восточной Европы во второй половине XX века (страны народной демократии). Сочетание это корректно, оно не нарушает нормы языка.
Правильно раздельное написание.
Нет, неверно. Правильно: ласточкина гнезда. Ласточкин – притяжательное прилагательное.
Такое сочетание неудачно. Лучше сказать меньший.