Правильно: напиться (чего?) воды, молока... в знач. «выпить в большом количестве» и напиться (чем?) водой, квасом... в знач. «попить вдоволь, утолив жажду».
Могут быть использованы оба предлога.
Запятые нужны в обоих предложениях.
Запятая перед что нужна, знаки препинания расставлены верно.
Дополнительные запятые не нужны.