Правильно: страны Запада.
Нет, в этом словосочетании прописные буквы не требуются.
Словарная фиксация: птица феникс.
Правильно: Европейский континент.
Как название исторической эпохи - Новейшее время (с прописной буквы).
Сочетание день рождения пишется строчными.