Лучше: дет-ский.
Запятая не нужна.
Правильно.
Корректно: врач-стоматолог детский; врач -- детский стоматолог.
В первом случае кавычки обязательны. В последующих вариантах постановка кавычек зависит от конкретного названия.
Да, склоняется.
Правильно: индианка. Так называют и подругу индейца, и подругу индийца.
Да, конечно: управляющая. Об употреблении этого слова как названия должности читайте в вопросе 291676.
Орфографически верно раздельное написание, т. к. эко... относится к словосочетанию: эко детский сад.