Корректно: Центральные державы. Ср.: Тройственный союз (это название фиксирует орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН). Написание отвечает правилу: в названиях объединений государств (современных и исторических, официальных и неофициальных) с прописной буквы пишется первое слово, а последующие слова пишутся по традиции.
Правильно: об агентстве.
Нет, это слова с разным значением.
Если имеется в виду государственное учреждение, то верно: агентство по спорту.
Правильно: блюда русской и европейской кухни.
Произносится аге[нс]тво и допустимо аге[нц]тво.