В официальной письменной речи принято все эти слова писать с прописных букв: Государственная Дума, Совет Федерации. Почему именно так - вопрос традиции.
Должна быть.
Если речь идет об историческом тексте, то более уместным будет написание со строчной буквы.
Правильно: Астраханская городская дума, городская дума и дума. Слово Дума пишется с прописной буквы, если оно употребляется вместо сочетания Государственная Дума.
Орфографически верно: администрация Екатеринбурга, Свердловская областная дума, Екатеринбургская городская дума.