Причастие брошенный образовано от глагола совершенного вида бросить. От глагола несовершенного вида бросать теоретически возможно не употребимое в речи причастие *бросаный; сравним приставочные образования совершенного вида: набросать — набросанный (например: набросанные в корзину шишки).
Верно: биоинжиниринг.
Это союз но и предлог несмотря на. Верно: Но, несмотря на все уговоры, Катя решила бросить университет.