Правильно: лугский. Прилагательное лужский образуется от названия города Луга.
Это предлог.
Да, нужно склонять.
Задайте, пожалуйста, вопрос по русскому языку. Кстати, запятая в Вашем вопросе не нужна.
Верен второй вариант. Первый вариант возможен при передаче на письме разговорной речи.
Правильно: близ деревни, близ Диканьки.
Ваши примеры иллюстрируют образцы устной разговорной речи, спонтанной, неформальной и неофициальной, отличающейся лексическими и синтаксическими особенностями от речи письменной. Очевидно, что в иной, не бытовой, а официальной ситуации от говорящего будут ждать высказываний, отвечающих нормам русского литературного языка.