Верно: сращённая доска.
Корректно: Доска почета.
Общего правила нет. В случае возникновения затруднений необходимо обращаться к словарям грамматического управления.
Оба варианта правильные и употребляются.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Да, предпочтительно, на наш взгляд, написание в кавычках.