Варианты различаются по смыслу: дата неверна = дата указана неверно; цена недействительна = цена изменилась.
Да, при неофициальном употреблении (например, в тексте газетной статьи) верно написание строчными: глава республики предложил, глава Дагестана положительно охарактеризовал... Прописная буква нужна, если полное название должности используется в официальном тексте.
Верно: в Республике Дагестан.
В значении "конечная, предельная дата" - возможно.
Верно с прописной буквы: Республика Дагестан.