Правильно: спать, лежать валетом.

Это слово в литературном языке не изменяется по падежам и числам (не склоняется).

Пальто – несклоняемое существительное: купила два пальто.

Вначале уточним терминологию: это не местоимения, а прилагательные. Правила таковы: имена прилагательные, обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной буквы, если они образованы от собственных имён при помощи суффикса -ов (-ев) или -ин: Юлина юбка,  Ольгино пальто, Танина варежка (в составе фразеологических оборотов такие прилагательные пишутся со строчной буквы: ахиллесова пята, сидорова коза). Если же соответствующие прилагательные имеют в своём составе суффикс -ск-, они пишутся со строчной буквы: пушкинские стихи, петровские преобразования, булгаковский стиль.

Это управление неизменяемым словом.

Верно: померьте это пальто.

Верно, допустимы оба варианта. 

Правильная форма: кальсон.