Правильно: ...мою школьную подругу.
Возможны варианты: Ну, давай удиви меня и Ну давай, удиви меня. Выбор зависит от интонации.
Пунктуация корректна.
Правильно: Давай будем писать друг другу письма.
Нет, выражение согласно кивнуть головой не является плеоназмом. Одно из значений глагола кивать — "(чем) слегка наклонять и вновь поднимать голову (в знак приветствия, согласия, одобрения и т. п.)"., то есть кивок может выражать не только согласие. См.: Он согласно кивнул головой. Она сжала его руку и спросила... [Н. С. Лесков. Зимний день (1894)]; Клим Иванович согласно кивнул головой [Максим Горький. Жизнь Клима Самгина. Часть 4 (1928-1935)]; Тот согласно кивнул головой и сказал... [Василий Шукшин. Критики (1964)].
Верно: давай поиграем в морской бой.
Это правильно. Такая форма - еще в "Толковом словаре русского языка" под ред. Д. Н. Ушакова (1935-1940).
Запятая не ставится.
Обращения на письме обособляются: спасибо, милый; спасибо, дорогой; спасибо, (имя).