Кавычки не нужны. Верно: номер категории люкс или комфорт.
Кавычки не ставятся.
Коллектно: логопедический плей-кейс.
Верно: тест-кейс.
Неясно, с чем согласуется прилагательное "высший" в Вашем предложении.
Корректно: Директору ООО "Фирма "Люкс".