Правильно: отчет о чем-либо: отчет о финансово-хозяйственной деятельности.
Правильно: оперативно-разыскная деятельность, оперативно-разыскные мероприятия.
Названия республик женского рода обычно склоняются в сочетании со словом республика: в Республике Болгарии. Но в официальных текстах нередко можно увидеть несклоняемый вариант.
Лучше написать: из нескольких видов деятельности.
Возможный вариант: опыт работы в риЕлторской компании, в риЕлторском агентстве.
Корректно: необходимы документы на право осуществления деятельности, в случае если осуществление деятельности подлежит...
Думаем, корректнее в этом случае будет сказать: функции мозга.
Запятая нужна, так после определяемого существительного деятельность следует определительный оборот.