А что такое чеще?
Грамматическая основа: мы с мамой переехали.
Сочетание черный вход неупотребительно, при этом есть служебный вход.
Постановка запятых не требуется.
Верно: повышать компетентность (уровень знаний), расширять компетенцию (круг вопросов, полномочий). Оба сочетания не являются заменой сочетанию "повышать квалификацию".
"Хандра" подлежащее, "хуже холеры" сказуемое.
Запятые в этом предложении не требуются.
Сколько - главный член предложения.
Это был подарок.