Сказуемое согласуется с тем словом, которое употребляется перед кавычками: ГП направило... Ср.: кинотеатр «Победа» открылся.
Возможны варианты: продвижение по службе и повышение по службе.
Запятые нужны, но обратите внимание, что дополнение в данном случае не следует отрывать от причастия. Корректно: ГУП "Ромашка", организация, подведомственная Департаменту... города Москвы, выполняет работы...