Корректно: врач-стоматолог детский; врач -- детский стоматолог.
Правильно: индианка. Так называют и подругу индейца, и подругу индийца.
Да, склоняется.
Какие именно названия?
Орфографически верно раздельное написание, т. к. эко... относится к словосочетанию: эко детский сад.
Нет, возможно только описательно: жительница Земли.
Да, конечно: управляющая. Об употреблении этого слова как названия должности читайте в вопросе 291676.
Верно в ед. ч.: брат или сестра уже посещает.