Рекомендации справочников (см., например, справочник Д. Э. Розенталя): с целью установить – в целях установления.
Возможно и слитное написание, и (если нужно подчеркнуть отрицание) раздельное написание. Решение принимает автор текста.
Такой вариант пунктуационного оформления корректен.
Предлог в целях не является устаревшим. Оба варианта широко используются, но предлог в целях чаще употребляется в официальных текстах и практически никогда в разговорной речи.
Запятую перед в целях лучше поставить.
Верно: ...мы с тобой не «Эппл» и не «Гугл».
Слова вместе с тем не выделяются запятыми. Запятая после этих слов не нужна.
В данном случае в целях — это непервообразный предлог. Об обособлении конструкций с такими предлогами читайте в "Справочнике по пунктуации".