С корнем да: дать, дакать, дача. Чтобы прочесть слова с корнем слажд, введите в окно «Искать на Грамоте» этот корень, а перед ним и после него поставьте знаки звёздочки.
Общеупотребительно: с днем рождения. В разговорной речи: с днем рожденья.
Оба варианта возможны.
Указанная запятая нужна.
Поздравлять нужно "со строчной буквы": с днем рождения.
Возможны оба варианта.
Запятая не нужна.