Это слово может быть написано с большой буквы в контексте, где ему приписывается особый высокий смысл.
Сочетание холодная война пишется без кавычек.
Возможен первый или второй вариант.
Эти обороты речи корректны.
Да, это родственные слова.
В названиях войн с прописной буквы, как правило, пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Японо-китайская война, Русско-японская война, Англо-бурская война, Первая мировая война, Вторая мировая война, Война за независимость (в США), Война Алой и Белой розы, Война Севера и Юга (в США).