Существительное евро пишется строчными.
В обоих значениях («шейное украшение» и «денежная единица Украины») правильно: гривна.
В значении 'совершить операцию обмена одной валюты на другую' правильно: обменять валюту. Глагол разменять (применительно к деньгам) означает 'обменять более крупный денежный знак на соответствующее по стоимости количество мелких денежных знаков'. Например, можно разменять 1000 рублей (обменять на две купюры по 500 рублей или на десять купюр по 100 рублей и т. д.).
Возможны оба варианта.