Да, хотя в бытовом употреблении возможно и написание без кавычек: приехал на стареньком запорожце.
Помета "разговорно-сниженное" означает, что стилистически оправдано употребление этого слова в разговорной речи при фамильярном бытовом общении.
Предложение корректно, но обратите внимание, что оно уместно лишь в разговорной речи при фамильярном бытовом общении.