Правильно: история Древнего мира и Средних веков.
Допустимы оба варианта.
Следует писать в кавычках с маленькой буквы: Тибет — "крыша мира".
Правильно: Товары из всех стран мира.
Правильно: чемпионат мира, чемпионат Европы, чемпионаты мира и Европы.
Нет, в этом словосочетании прописные буквы не требуются.