Правильно: напиться (чего?) воды, молока... в знач. «выпить в большом количестве» и напиться (чем?) водой, квасом... в знач. «попить вдоволь, утолив жажду».
В этом предложении оборот с союзом как тесно связан с глаголом, а потому не обособляется.
Запятая перед что нужна, знаки препинания расставлены верно.
Дополнительные запятые не нужны.