В значении "после выхода" - по выходе.
Правильно: Кутафья башня, Кутафьей башни, Кутафьей башне, Кутафью башню, Кутафьей башней, о Кутафьей башне.
Вам поможет наша «Искать на Грамоте» с электронными словарями (нужно набрать божий).
Аббревиатура БАД несклоняемая.
В этом случае кавычки нужны.