Предпочтительно: Барин со всеми его имениями себе не принадлежит.
Нет, кавычки не нужны.
Корректно: в технике батика.
В "Словаре имен собственных" Ф. Л. Агеенко: Бали, Гоа.
Предпочтительно придерживаться этих вариантов.
Словарь показывает модель склонения для сочетания притяжательного прилагательного и существительного мужского рода (ср. Бабий Яр). Следовательно, первая часть топонима изменяется как притяжательное прилагательное мужского рода (так же, как прилагательное отцов), а вторая — как существительное мужского рода (так же, как существительное город): в Часовом Яре, под Часовым Яром.
Для обозначения родственных отношений в официальной речи уместны слова бабушка и дедушка.