В обоих случаях оба слова в собственном названии улицы нужно писать с прописной буквы: Красный Путь.
Оба варианта нормативны. См. в «Словаре трудностей»: Запасный и запасной.
См. в «Словаре трудностей».
Название этой организации пишется без кавычек, правильно: Красный Крест. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
См. «Словарь трудностей».
См. в «Словаре трудностей».
Сочетание красный диплом пишется без кавычек.
Правильно: улица Красный Казанец. См.: Агеенко Ф. Л. Словарь собственных имён русского языка. М., 2010 (электронная версия – на нашем портале).
См. «Словарь трудностей».