Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.
Если это законченные фразы, то запятые в них не нужны.
Правильно: заезжай.
Все слова в сочетании "день рождения" пишутся строчными.
Запятая ставится (обособляется обращение).
Запятые не нужны.