Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.

Правильно: заезжай.

Все слова в сочетании "день рождения" пишутся строчными.

Правильно: изъян, не доел и недоел (в зависимости от контекста и лексического значения).

При наличии родового слова такие наименования следует заключать в кавычки, но писать со строчной буквы: увидел символы "инь-ян", "уроборос" и "волчий крюк". И мы бы не рекомендовали игнорировать родовое слово, так как без него смысл текста окажется не вполне понятным. 

Правила склонения фамилий см. в разделе «Азбучные истины».

См. ответ № 234656.

Запятая ставится (обособляется обращение).

Эти слова пишутся через дефис: глинтвейн-бар, детокс-бар, кальян-бар.