Названные Вами сочетания могут быть написаны без кавычек.
Корректно: святая гора Афон, Святая гора.
Все слова в сочетании "день рождения" пишутся строчными.
Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.
Запятая ставится между частями сложносочиненного предложения.
Правильно: заезжай.
Запятая ставится (обособляется обращение).
Пунктуация верна.
В значении "ухаживать" – подбивать клинья.