Строгая норма: много кур, бегают куры. В разговорной речи допустимо: много куриц, бегают курицы.
Кавычки не нужны.
Правильно: в лице директора Ивановой Ирины Михайловны, действующего... В письменной деловой речи принята норма согласования с названием должности – директор (безотносительно к полу).
Ударение на первом слоге.