Корректно: со всей России, по всей России.
Правильно с прописной, кроме последнего примера.
В данном случае - 1) историческая личность (как Лжедмитрий); 2) влияние литературы: Лже-Нерон второй, Теренций Максим является главным героем романа Фейхтвангера «Лже-Нерон».