Фраза корректна.
Можно, хотя это выражение и не является устойчивым.
Такая формулировка возможна. Может быть, лучше: Куда ставить (класть) папки?
Глагол ложиться входит в состав русского литературного языка, он стилистически нейтральный и может свободно употребляться в любых контекстах. Все запреты, связанные с глаголом ложить, на глагол ложиться не распространяются.